作者：桂。

时间：2017-04-11  22:08:55

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前言

在子空间分析、独立成分分析等应用中，经常用到矩阵白化，这里简单总结一下，主要包括：

　　1）满秩矩阵的白化；

　　2）秩亏缺矩阵的白化；

　　3）白化与PCA的关系；

内容为自己的学习记录，其中多有借鉴他人之处，最后一并给出链接。

 

一、满秩矩阵的白化

令是随机向量，零均值，其协方差矩阵：

如果协方差矩阵非奇异，对其特征值分解（特征值及SVD的细节信息，）：

定义矩阵：

WW成为aa的白化矩阵。白化后的信号：

其协方差矩阵等于单位阵。

总结一下步骤：

步骤一：去均值，中心化

步骤二：求协方差矩阵，并进行特征值分解

步骤三：求解白化矩阵，并得到白化后的信号

给出一段示意代码：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x = -10:.1:10; x = x + randn (1, length (x)); y = 0.6*x +  randn (1, length (x));   %whiten data = [x;y]; C = data*data'; [u,s,v] =  svd (C); W = v* diag (1./ sqrt ( diag (s)))*v'; b = W*data;

对应结果：

可见白化其实就是让信号尽可能不相关。在分析PCA的时候，我们知道特征值与对应方向的方差有关联，所以白化就是这个思路：首先旋转坐标轴，其次根据对应方向的方差（特征值）进行伸缩，中心化的目的就是为了保证变换前后数据中心对应坐标轴中心，而不至于因为旋转/伸缩而偏离坐标原点太过分：

是不是觉得与PCA相像？后面给出分析。

 

二、秩亏缺矩阵的白化

当协方差矩阵为秩亏缺时，可以写为：

此时白化矩阵为：

白化后的信号：

此时白化后信号的协方差矩阵：

至此，完成白化。这也容易理解，有效信号占一个子空间，对子空间白化，就是对有效信号进行白化。

 

三、白化与PCA

，给出PCA步骤：

步骤一：数据中心化——去均值；

步骤二：求解协方差矩阵；

步骤三：利用特征值分解/奇异值分解 求解特征值以及特征向量；

步骤四：利用特征向量构造投影矩阵；

步骤五：利用投影矩阵，得出降维的数据。

以上文二维数据为例：

• 中心化：白化的中心化，PCA也需要中心化；
• 旋转：白化步骤中的旋转，即旋转后的坐标就是PCA对应的第一、第二投影方向，如图中红线、绿线所示；
• 拉伸：不同维度的特征值通常差别较大，在PCA中就是对特征值进行归一化。如果将不同维度的数据看作不同特征，白化步骤的拉伸本质也是特征的归一化。

参考：

张贤达：《矩阵分析与应用》